Когда в России стали изучать математический анализ.
Кратко повторю текст, начавший цепочку постов ( Кто ты, воин ? ) )
Будущий нобелевский лауреат профессор Тамм попал в плен махновцам:
- Я преподаю математику!
- Тогда найди мне оценку приближения ряда Маклорена первыми n-членами, – ухмыльнулся атаман.
Тамм не мог поверить своим ушам: задача относилась к довольно узкой области высшей математики. Дрожащими руками, под дулом винтовки, он сумел-таки вывести решение.
В ответном посте я написал, что это - стандартный материал первого семестра физико-математических вузов, изучается даже в некоторых школах
Вы времена-то не путайте. Дело было в начале прошлого века
Отвечаю.
В общих чертах матанализ в объеме, изучаемом в современных вузах под таким названием, был создан в XVIII веке. Начали Ньютон и Лейбниц в XVII, основное развитие было в XVIII. Кое-что, конечно, добавили уже в XIX. В начале XX века уже появлялись упрощающие формулировки, обозначения и другие косметические изменения.
Так, речь в байке о Тамме и махновце шла о ряде Маклорена, то есть простом частном случае ряда Тейлора. Тейлор опубликовал свою работу в 1715, и он был не первым, кто пользовался этим рядом. Ряд Тейлора в целом и Маклорена в частности был обоснован еще Ньютоном в неопубликованных работах 1690 годов, а пользовались такими рядами Ньютон, Коллинз, Грегори еще около 1670. Опубликован же подробный анализ рядов Маклорена был самим Маклореном в 1740-х.
Остаточные члены в форме Лагранжа и Коши появились заметно позже: в 1797 и 1823, соответственно. Общей вид дифференциальной формы придуман не то Рошем в 1858, не то Шлемильхом примерно тогда же. Интегральный вид придуман еще Коши в 1821. Остаточный член в форме Пеано появился в 1910-х годах благодаря недавно придуманной нотации о-малого (Э. Ландау, 1909).
Форма Пеано не позволяет сделать численную оценку остаточного члена, так что Тамму из байки про махновца она бы не пригодилась. Для оценки достаточно дифференциальной формы Лагранжа, опубликованной за век до рождения Тамма.
Проходили ли всё это в дореволюционной России? В школах - нет. В 7 классе реальных училищ проходили матан, но так же поверхностно и на пальцах, как сейчас - в 10-11 классах. Киселёв, написавший учебник "Начала дифференциального и интегрального исчислений" в 1908 году, придумал своё, довольно странное и нестрогое основание матанализа. Ряда Тейлора там нет, материал в целом похож на современный для непрофильных классов, типа того, что в учебнике Колмогорова.
Тамм ходил не в реальное училище, а в гимназию, но сомневаюсь, что в гимназиях преподавали намного больше математики.
Другое дело - университеты. Курсы матанализа для студентов появились в России еще в XVIII веке. Так, уже в 1796 году Гиларовский издал учебник "Сокращение вышней математики" для учительских гимназий/семинарий. Не знаю, были ли там ряды Тейлора-Маклорена.
Почти уверен, что остаточный член был в учебнике Зернова (1842): в доступных мне сканах отсутствуют нужные страницы, так что могу лишь утверждать, что сами ряды Тейлора и Маклорена в Зернове точно были, насчет остаточного члена не гарантирую.
И совершенно точно остаточный член в форме Коши был в "Курсе анализа" Хандрикова (1887), причем почти в современной нам нотации:
В целом же в школьной и вузовской программе первых пары курсов по математике нет почти ничего, а по физике - не так много фактов и методов, неизвестных в XIX веке.
найди мне оценку приближения ряда Маклорена первыми n-членами
Тамм не мог поверить своим ушам: задача относилась к довольно узкой области высшей математики. Дрожащими руками, под дулом винтовки, он сумел-таки вывести решение и показал его предводителю.
Студенческий фольклор:
Чей же член придется впору,
Чтобы вставить в зад Тейлору?
Оба члена хороши:
И Лагранжа, и Коши!
Оценка остаточного члена ряда Тейлора, в том числе и ряда Маклорена - стандартная программа технических вузов, обычно первый семестр матана. В некоторых физмат-школах изучается в 10-11 классе.
Даже в американской школьной программе встречается, хотя сдают этот предмет только ~120 тысяч школьников в год. Пример экзамена (здесь оценка остаточного члена названа error bound):
Математика АР на уровне старших российских классов и первых курсов института - пределы, производные, интегральное/дифференциальное исчисление, ряды.
Точнее, на уровне первого курса непрофильного факультета. Гораздо выше российского 11 класса и гораздо меньше и слабее российского первого курса профильной специальности. Пределы упрощенные и только по Коши, последовательности не проходят, вывод дырявый (скажем, сравнение бесконечно малых объясняют на пальцах).
Программа AP Calc BC еще ничего, но он не во всех скулдистриктах есть, даже среди самых рейтинговых. AP Calc AB ни к селу ни к городу: лопитировать не учат, ряд Тейлора не учат, теоремы Ньютона-Лейбница нет. Но позвольте, это ведь основные результаты матанализа, он ведь почти только для ряда Тейлора и для теоремы Ньютона-Лейбница и нужен!
Хорошая оценка по предмету на уровне AP может быть зачтена в университете.
По профилю - конечно нет. AP Calc сойдет за матан, если студент учится на биолога или социолога, но не математика. Хотя в американских вузах часто дают сперва поверхностный, нестрогий и обширный недоматан до анализа функций многих переменных, дифуров и векторного анализа, и только потом - строгие основы, начиная с действительных чисел.
Обязательные требования к математикам в Пенн-Стейте. Сперва охват (140, 141, 230), потом строгие основы (312)
Но AP Chemistry требует предварительно пройти простую (не АР) химию плюс Algebra II. То есть это уже сам по себе курс 12 класса.
Непоследовательно рассуждаете. Да, в среднем американцы проходят Algebra II в 11 классе. Но те американцы, кто проходят алгебру-2 в 11 классе, матанализ не проходят вообще. Чтобы успеть пройти матан и статистику, ученик должен пройти алгебру-2 не позже 9 класса, что не такая уж редкость. В некоторых городах она обязательна в 10 классе, и многие идут с опережением. Я знаю ребенка, прошедшего алгебру-2 в 7 классе, и десяток детей - в 8.
Сложность тут только в том, чтобы убедить школу дать такую возможность. Сам по себе предмет простой. В России примерно то же самое проходят в 8-9 классах, только глубже и одновременно с геометрией.
Информатика АР - это объектно-ориентированное программирование (Java). В российской школе, насколько я знаю, до сих пор учат бейсик с паскалем.
Вы так говорите, будто бейсик с паскалем в дидактическом смысле хуже джавы. Выйти на рынок труда с преподанным в школе багажом все равно не получится, тем более в "кровавый энтерпрайз". Так что джава в APCSA - такой же атавизм, как паскаль в российских школах. Джава была выбрана в 2003 году как перспективный, как тогда казалось, язык, подходящий для обучения ООП. С тех пор и зацикленность на ООП вышла из моды, и джава в кондовом виде перестала казаться перспективной. APCSA давно предлагают переориентировать на Python.
Информатики AP две: APCSP (основы информатики и компьютерной грамотности) и APCSA (программирование). APCSA учит программированию в целом и ООП на примере джавы. Алгоритмы и структуры данных проходятся на зачаточном уровне. В хороших школах, где программирование востребованно, бывают доступны более высокие уровни: алгоритмы и структуры данных. Но мало где. В РФ такое проходят во многих ФМШ. В США мало где, чаще в частных преп-школах.
В государственной школе. Встречается изредка в районах скопления программистов.
Их есть у нас! Красивая карта, целых три уровня и много жителей, которых надо осчастливить быстрым интернетом. Для этого придется немножко подумать, но оно того стоит: ведь тем, кто дойдет до конца, выдадим красивую награду в профиль!
Просто решил выложить решение небольшой интересной задачки.
Все сводится к исследованию функции на экстремум, в принципе эту же задачу можно расширить и на другие числа, например е^100 и 100^e, а если очень постараться то и на a^b и b^a
Привет друзья! Если вы не любитель математики или вам неинтересно разбираться в дебрях формул то пропускайте эту статью) если же вам нечем занять свое время нравятся нестандартные задачи, то велком к прочтению!
Сегодня я хочу рассказать вам об одном интересном проекте, который называется Проект Эйлера. Этот проект был создан в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера и представляет собой серию из 64 математических задач различной сложности. Набор интригующих задач по математике и программированию, для решения которых, однако, недостаточно одной только математической интуиции. Разумеется, математика поможет прийти к красивому и элегантному решению, но для успешного решения большинства задач без навыков программирования не обойтись.
Создатели проекта - группа энтузиастов, во главе которой стоит Джозеф Синклер. Он же является основателем сайта ProjectEuler (оригинал на английском), на котором можно найти все задачи и ответы к ним. Проект был запущен в 2001 году, и с тех пор его популярность только растет.
Все задачи в Проекте Эйлера разделены на уровни сложности. Начинающим участникам предлагаются задачи начального уровня, для решения которых достаточно знаний арифметики. Продвинутые участники могут попробовать свои силы в решении задач продвинутого уровня, требующих глубоких знаний в области теории чисел, комбинаторики и других разделах математики.
Математические задачи в программировании полезны тем, что они помогают развивать логическое мышление и умение решать проблемы. Кроме того, они учат работать с числами, анализировать данные и создавать алгоритмы. Это очень важные навыки для любого программиста.
Если вы интересуетесь Python и хотите узнать больше об этом языке программирования, то приглашаю вас подписаться на мой канал! https://t.me/python_scrypt
Я буду делиться полезными материалами, уроками и новостями из мира программирования. Подписывайся, и мы будем вместе продвигаться сквозь дебри кода Python!
В школе на уроках физики каждый проходил закон всемирного тяготения: "Сила гравитационного взаимодействия прямо пропорциональна массам взаимодействующих объектов и обратно пропорциональна квадрату расстояния":
Именно при таком законе тяготения мы можем наблюдать привычные нам орбиты (эллипс, гипербола, парабола). Но что, если бы закон был немного другим, как бы тогда выглядели орбиты? На это мы сейчас и посмотрим. Ну а самый удобный способ посмотреть на ньютоновскую гравитацию - нарисовать орбиты, поэтому именно так будем определять, что было бы, если бы гравитация работала по-другому. А заодно вы сможете сами и без математики покрутить и повертеть эти орбиты, в конце поста оставлю файл и инструкцию к нему
Ну и оставлю небольшое уточнение перед прочтением: во всех случаях коэффициенты подобраны так, что сохраняется ускорение свободного падения на Земле (а не ее масса). Сделал это для удобства, иначе была бы куча мучений со скоростями). Ну и да, орбиты вокруг Земли, хотя это не особо важно
Что будем менять в гравитации?
Прежде чем начать смотреть на красивые графики и страшные формулы, разберемся, что мы вообще хотим поменять. Ну, очевидно, не гравитационную постоянную, ведь принципиально от этого ничего не изменится. Также очевидно, что и не степени или коэффициенты при массах, так как в таком случае мы по сути будем просто менять константы при формуле, опять-таки, принципиальной разницы не будет Однако, если менять степень при расстоянии, то вот тогда мы получим принципиальные различия. Ведь сменой степени мы по сути поменяем и характер уравнений, описывающих движение (что будет видно дальше) Замечу, что еще можно не только что-то менять в самой формуле, но и дополнять ее. Однако способов ее дополнить в значительно раз больше, чем способов изменить, поэтому на все подобные дополнения поста уж точно не хватит. Так что введение чего-то нового в формулу оставлю читателям в качестве упражнения)
Немножко про обычный закон тяготения
Но начнем мы все таки с того, как и почему возникают привычные нам формы орбит. Тут на самом деле все довольно просто, но, как мне кажется, будет полезным показать, как все это дело получается. Записываем уравнения движения в полярной системе координат и решаем их:
Подумайте над тем, откуда берутся исходные уравнения и как константы в конечном уравнении связаны со скоростью и расстоянием до центра в начальный момент времени. Это, так сказать, еще одно упражнение для читателей
Полученное уравнение, хоть это и не выглядит очевидным, описывает кривые второго порядка с фокусом, лежащим в начале системы координат. То есть мы получаем наши привычные эллипсы, гиперболы, параболы (ну и окружности с прямыми). Покрутить их можно здесь. А, ну и пару картинок, как полагается:
Синяя область на картинках - Земля
Еще один частный случай закона тяготения
Помимо случая с квадратом радиуса есть еще один вариант, для которого можно решить уравнения движения - кубическая зависимость от расстояния. Правда, здесь решение будет более громоздким, поэтому часть выкладок, использованных выше, я опущу:
Во всех трех случаях (кроме 2 при нулевой вертикальной скорости) формулы задают спирали (видно на картинке ниже). Первая, с экспонентами, и вторая при направленной вниз вертикальной скорости дают спирали, которые стремятся к центру планеты (1 и 2 на картинке соответственно). Вторая при направленной вверх вертикальной скорости и третья дают спирали, которые наоборот "уходят" от планеты (4 и 5 соответственно). И только 2 случай при нулевой вертикальной скорости (3 на картинке) дает привычную круглую орбиту
В реальности (ну как реальности, в жизни все таки в уравнениях не куб) вероятность выпадения вот такой удобной конфигурации скоростей (скорость в точности равна первой космической и в точности направлена в горизонт) у спутников да и у чего угодно равна примерно ноль целых хрен десятых, так что с такой гравитацией появление звездных систем просто-напросто невозможно. Поэтому давайте порадуемся за квадрат в наших уравнениях, а то не видать бы нам красивых восходов и закатов, луны на небе, да и года отмерять нечем было бы, нового года бы не отмечали) Правда и отмечать было бы некому)
Ах да, покрутить такие орбиты тоже можно, вот ссыль
А что там с остальными степенями
Для всех других степеней у расстояния, увы, аналитических решений нет. Но не беда, ведь есть тяжелая артиллерия в виде численного моделирования)
К этому сейчас и приступим, но сперва пошаманим над формулами.Перепишем исходную систему в более общем виде через параметр в степени расстояния, а также перепишем систему так, чтобы заменить время на угол:
Система позволяет моделировать через время, а конечное уравнение - через угол. Пользоваться будем и тем, и тем, в зависимости от того, какая модель будет удобнее
Итак, пишем код для каждой модели
На картинке код сразу для 2 моделей, при помощи комментариев указал, какой из кусков для чего
В отличие от моих предыдущих постов, где я выводил набор графиков, здесь я решил добавить ползунки и пользоваться ими. Графики кстати выглядят вот так:
Первый график через время, второй - через угол
Ну и теперь наконец смотрим на орбиты. Коэффициент при степени я подписал над графиками:
Эти графики я объединил на одной картинке потому, что они не сильно отличаются друг от друга. В целом, для n > -1 графики будут довольно похожи друг на друга, несмотря на различные n. То же самое с графиками у которых n < -3
Вот такая красота получается. Особенно интересными графики выглядят при n > -3, образуя интересные и красивые узоры А еще смотрите как прикольно витки орбиты "складываются" в окрестности n = -2 (привычная гравитация) и n = 1 (может получиться при привычной гравитации если лететь сквозь равномерный по плотности шар, об это рассказывал здесь):
Да, на гифках графики выглядят сильно ломаными, это потому, что Wolfram при изменении параметров делает расчет менее точным, чтобы графики не подвисали и можно было примерно видеть, что будет получаться
Подметим еще два интересных факта: 1. Если буква n не меньше -1, то бессмысленно понятие второй космической, так как она будет бесконечна. Это вытекает из потенциальной энергии на бесконечном расстоянии. Проверить этот факт легко, поэтому оставлю это как еще одно упражнение для читателей) 2. Если n = -1, то первая космическая скорость будет всюду одинакова. Проверить тоже несложно, поэтому также оставлю в качества упражнения для читателей)
Как самому повертеть орбиты?
Как и обещал, оставлю модели для собственного ковыряния орбит (также можно посмотреть частные случаи в Desmos-е, дублирую ссылки [n=-2], [n=-3]). Обе численные модели вы можете скачать с ЯДиска по этой ссылке (представлены в файле формата .CDF) Чтобы открыть их, нужно установить себе прогу Wolfram Player (ссыль на оф. сайт, она бесплатная) и запустить через нее скачанный файл Внутри там все будет написано, так что проблем с пониманием чаво и каво возникнуть не должно. Также не бойтесь, если график становится красным или выдает ошибку, это нормально, связано с "сингулярностями" в некоторых точках при вычислении. Если возникают какие-то проблемы с моделью, либо хотите поменять границы у ползунков - пишите в комментарии, буду исправлять и дополнять. Ну и оставлю картинкой интерфейс программки:
Что по итогу?
Осматриванием прикольных картинок, ой, то есть путем сложных научных изысканий можно понять, что стоит порадоваться за наш удобный закон тяготения) Ведь при других коэффициентах звездных систем или бы не было, или Вселенная скорее всего не успела бы развиться (для n >= - 1, ну когда второй космической нет), или орбиты были бы такие, что и не разберешься, что за ужас в космосе творится (а то попробуй по тем узорчикам разбери, как гравитация устроена :) )
На такой веселой ноте пост заканчивается. Однако, помимо классического "Надеюсь, было интересно и познавательно, если что-то было непонятно - спрашивайте", хотел бы спросить у вас, как вам добавление упражнений для самостоятельного решения читателями? Мне идея показалась хорошей, так как и материал особо не выдергивается, и есть возможность читающим самим что-то дополнительно повысчитывать, и хотелось бы какой-никакой фидбэк
За сим окончательно откланиваюсь, и всем желаю удачи, счастья, успехов и нормальной гравитации в Новом 2024 году!!!
Выспаться, провести генеральную уборку, посмотреть все новые сериалы и позаниматься спортом. Потом расстроиться, что время прошло зря. Есть альтернатива: сесть за руль и махнуть в путешествие. Как минимум, его вы всегда будете вспоминать с улыбкой. Собрали несколько нестандартных маршрутов.